Hladik 10.02.2011 A

1. Definujte pojem báze. Zformulujte a dokažte větu o existenci báze.

2. Buď A=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & -5 & 0\\1 & 0 & -4 & 1\\2 & 1 & -1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1\\2 & -1 & 7\\1 & 1 & 2\\3 & 2 & 7\end{array}\right).

Rozhodněte, zda Ker(A)=S(B). Rozhodněte, zda Ker(B)=S(A).

3. Uvažujme dvě lineární zobrazí f,g:\mathcal{P}^{2}\longmapsto\mathbb{R}^{3} zadaná \begin{array}{c}f\left(2x^{2}-2x+3\right)=\left(11,1,4\right)^{T}\\f\left(x^{2}+4x+2\right)=\left(3,5,-2\right)^{T}\\f\left(3x^{2}+3x+2\right)=\left(1,0,2\right)^{T}\end{array}\begin{array}{c}g\left(x^{2}\right)=\left(1,-2,2\right)^{T}\\g\left(x\right)=\left(-2,0,1\right)^{T}\\g\left(1\right)=\left(1,2,-1\right)^{T}\end{array}

Zvolte si bázi B prostoru \mathbb{R}^{3} a spočítejte matici _{kan}\left[g\circ f^{-1}\right]_{B} Rozhodněte, zda g\circ f^{-1} zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou.

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

(a) Buď A dolní trojúhelníková matice. Pak AA^T je zase dolní trojúhelníková matice.

(b) Každou permutaci na n prvcích lze zapsat jako složení n-1 transpozic.

(c) Buď A\in\mathbb{R}^{m\times n}. Pak rank(A)=n právě když Ker(A)=\left\{0\right\}.

(d) Lineární zobrazení f:U\mapsto V je prosté právě tehdy když libovolnou bázi U zobrazí na bázi V.