Hladik 10.02.2011 A

1. Definujte pojem báze. Zformulujte a dokažte větu o existenci báze.

2. Buď A=(31−5010−4121−1−1)A=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & -5 & 0\\1 & 0 & -4 & 1\\2 & 1 & -1 & -1\end{array}\right)A=​312​101​−5−4−1​01−1​​, B=(1212−17112327)B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1\\2 & -1 & 7\\1 & 1 & 2\\3 & 2 & 7\end{array}\right)B=​1213​2−112​1727​​.

Rozhodněte, zda $Ker(A)=S(B)$. Rozhodněte, zda $Ker(B)=S(A)$.

3. Uvažujme dvě lineární zobrazí $f,g:{\mathcal{P}}^2⟼{\mathbb{R}}^3$ zadaná $$\begin{array}{c}f\left(2x^2-2x+3\right)={\left(11,1,4\right)}^T\\ f\left(x^2+4x+2\right)={\left(3,5,-2\right)}^T\\ f\left(3x^2+3x+2\right)={\left(1,0,2\right)}^T\end{array}\begin{array}{c}g\left(x^2\right)={\left(1,-2,2\right)}^T\\ g\left(x\right)={\left(-2,0,1\right)}^T\\ g\left(1\right)={\left(1,2,-1\right)}^T\end{array}$$

Zvolte si bázi $B$ prostoru ${\mathbb{R}}^3$ a spočítejte matici ${}_{kan}{\left[g\circ f^{-1}\right]}_B$ Rozhodněte, zda $g\circ f^{-1}$ zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou.

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

(a) Buď $A$ dolní trojúhelníková matice. Pak $A{A}^T$ je zase dolní trojúhelníková matice.

(b) Každou permutaci na $n$ prvcích lze zapsat jako složení $n-1$ transpozic.

(c) Buď $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$. Pak $rank(A)=n$ právě když $Ker(A)=\left\{0\right\}$.

(d) Lineární zobrazení $f:U\mapsto V$ je prosté právě tehdy když libovolnou bázi $U$ zobrazí na bázi $V$.